Application de la logique floue pour superposer des rasters
La logique floue peut servir de technique d'analyse de superposition pour résoudre les applications d'analyse de superposition traditionnelle, notamment la sélection de sites et les modèles d'aptitude.
La logique floue repose sur le principe de base qu'il existe des inexactitudes dans les attributs et la géométrie des données spatiales. La logique floue fournit les techniques permettant de corriger ces deux types d'inexactitude sachant que, du fait de son appartenance à l'analyse de superposition, la logique floue traite essentiellement les inexactitudes inhérentes aux données attributaires. Ces inexactitudes surgissent essentiellement dans la définition des classes et dans la mesure du phénomène. Ces deux sources d'inexactitudes, plus particulièrement celle de la définition des classes, peuvent aboutir à une affectation approximative des cellules à des classes spécifiques.
La définition des classes dans une classification et le manque de précision dans l'affectation des phénomènes à des classes peuvent influer sur la prise de décision. L'outil Superposition floue permet au décisionnaire de prendre des décisions en tenant compte de ces approximations. La logique floue traite essentiellement la modélisation des inexactitudes des limites de classe.
Les outils Superposition pondérée et Somme pondérée reposent sur des ensembles détaillés, où chaque cellule se trouve, ou ne se trouve pas, dans une classe. Le logique floue s'avère particulièrement utile lorsque les limites entre les classes ne sont pas clairement définies. A la différence des ensembles détaillés, la logique floue ne pose pas la question d'appartenance à la classe ; elle définit la possibilité pour un phénomène d'appartenir à un ensemble (ou classe). La logique floue étant fondée sur la théorie des ensembles, il s'agit de définir des possibilités et non pas des probabilités.
Par exemple, dans un modèle d'aptitude de logement, si la pente fait partie des critères en entrée, chaque valeur de pente sera transformée ou associée à une valeur comprise entre 0 et 1 pour décrire la possibilité pour que cette valeur de pente fasse partie de l'ensemble (ou classe) d'aptitude à la construction. La valeur 1 signifie que la valeur se trouve obligatoirement dans l'ensemble et la valeur 0 signifie le contraire. Toutes les autres valeurs décrivent un niveau de possibilité, les valeurs les plus élevées indiquant une probabilité d'appartenance plus élevée. Le processus consistant à transformer les valeurs en entrée d'origine en possibilité d'appartenance sur une échelle graduée de 0 à 1 s'appelle le processus d'approximation. Chaque critère du modèle, comme par exemple, l'exposition, la distance à la route et le type d'utilisation du sol seront soumis au processus d'approximation. L'outil Appartenance floue permet de transformer les données suivant l'échelle des possibilités graduée de 0 à 1.
Pour déterminer les emplacements qui correspondent le mieux à tous les critères, autrement dit qui ont le plus de chance d'appartenir à tous les ensembles, il convient d'utiliser l'outil Superposition floue. En cas de combinaison de plusieurs critères, l'outil Superposition floue explore la probabilité pour qu'une cellule corresponde à un membre de chaque ensemble défini par les critères multiples. On peut ainsi se demander quelle est la probabilité pour qu'un emplacement particulier convienne à la fois en termes de pente, d'exposition et de distance à la route ?
Par conséquent, les deux étapes principales de la logique floue pour effectuer une analyse de superposition sont l'approximation, ou le processus d'appartenance floue, et l'analyse de superposition floue. Ces deux étapes correspondent respectivement aux étapes reclassifier/transformer et ajouter/combiner du processus de superposition générale.
La question consistant à savoir si quelque chose peut appartenir à une classe ou non plusieurs fois n'est pas tranchée et relève du subjectif. Dans le langage humain, ces imprécisions se traduisent par l'utilisation de modificateurs, tels que les adverbes très, légèrement et modérément. Lorsque la logique floue effectue une analyse de superposition, elle s'apparente davantage à la pensée humaine. Les choses ne sont pas tranchées ; les limites peuvent être floues. La logique floue ne consiste pas à analyser le niveau d'incertitude des données mais à explorer le niveau d'imprécision des limites de classe.
Les sections suivantes traitent des problèmes liés à la classification des données, du processus d'appartenance floue et de la réalisation de l'analyse de superposition floue. Vous trouverez également une comparaison entre la logique floue et les techniques d'analyse de superposition binaire et pondérée ainsi qu'une section sur la manière dont la logique floue s'intègre dans le processus de superposition générale.
Classification des données et logique floue
Pour décrire ou trier les phénomènes, il convient de les caractériser en classes. Les classes Catégorie d'utilisation du sol, Type de sol, Pondération d'aptitude, Routes et Types de végétation sont autant d'exemples de classe. Dans les ensembles détaillés, l'appartenance est binaire et le phénomène appartient à la classe ou n'y appartient pas. Les limites de classe sont nettes. Mais, eu égard à l'approximation de la pensée, aux règles de catégorisation ambiguës, au caractère vague et ambivalent, les limites entre les classes ne sont pas toujours claires.
Par exemple, si le phénomène exploré est la relation qui existe entre les différentes tailles des personnes d'un groupe, vous pouvez commencer par classer les différentes personnes en fonction de leur taille. Vous pouvez commencer avec trois classes, les petits, les moyens et les grands. Vous devez définir les limites de ces classes. Vous pouvez ainsi dire qu'une personne de petite taille mesure 1,52 mètre ou moins, qu'une personne de grande taille mesure 1,83 mètre ou plus et qu'une personne de taille moyenne mesure entre 1,52 mètre et 1,83 mètre. Si une personne mesure 1,83 mètre, elle fait partie de la classe des grands. Si une personne mesure 1,80 mètre, elle fait partie de la classe des moyens. Avec seulement 3 centimètres de différence, ces deux personnes appartiennent à deux classes distinctes. Nous aurions cette même relation de différence pour une personne mesurant 1,55 mètre et une autre mesurant 1,98 mètre. En raison de l'approximation des classifications, il est impossible de rendre compte de toutes les relations entre les tailles.
Pour décrire de manière plus précise les relations de taille entre les personnes, il faudrait ajouter des classes supplémentaires. On pourrait ainsi ajouter deux autres classes, ce qui donnerait les petits pour les personnes mesurant 1,47 mètre ou moins, les petits-moyens pour les personnes mesurant entre 1,47 mètre et 1,63 mètre, les moyens pour les personnes mesurant entre 1,63 mètre et 1,78 mètre, les moyens-grands pour les personnes mesurant entre 1,78 mètre et 1,93 mètre et les grands pour les personnes mesurant plus de 1,93 mètre. Grâce à cet affinement des classes, il est possible de rendre compte plus précisément de la relation de taille entre les différentes personnes.
On pourrait ajouter d'autres classes pour affiner davantage la relation. Quel que soit le nombre de classes ajoutées, on ne peut éviter la généralisation de la relation de taille entre les personnes. Il y a des phénomènes qui sont impossibles à classifier dans des classes aux définitions strictes. Il est parfois difficile de grouper le monde réel en classes discrètes.
Comme nous l'avons constaté, la définition des limites de classe peut être subjective et peut varier avec la définition du phénomène. Dans les classes de taille définies précédemment, il est admis que les personnes sont des adultes et très probablement composées d'hommes et de femmes. Les définitions de classe pourraient être différentes si le groupe était exclusivement composé de femmes. Les limites de classe seraient encore différentes si le groupe se composait d'enfants ou qu'il incluait des enfants.
La définition des classes et les caractéristiques du phénomène dictent la manière de représenter le phénomène modélisé. L'erreur de mesure est une autre donnée du problème des classifications. Si le degré de précision du système utilisé pour mesurer la taille des personnes est de plus ou moins 2,54 centimètres, cette marge d'erreur peut modifier la classe à laquelle un phénomène est affecté.
La logique floue permet de modéliser cette imprécision dans le processus de classification. Dans la logique floue, les classes sont définies comme des ensembles. Cette logique donne les moyens de comprendre ce qu'est la valeur idéale pour l'appartenance à un ensemble, comme par exemple, la valeur de pente idéale dans un modèle d'aptitude de logement. Au fur et à mesure que les valeurs s'éloignent de la valeur idéale, le niveau de précision diminue jusqu'à un certain point en-deçà duquel il est évident qu'une valeur n'appartient pas à l'ensemble, comme par exemple un terrain jugé vraiment trop pentu pour être constructible.
Dans notre application sur les tailles, si nous nous limitons aux trois classes, petits, moyens et grands, en logique floue, ces trois classes peuvent se superposer.
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Tailles des classes d'appartenance |
Dans le schéma ci-dessus, l'appartenance à chaque classe est définie comme suit :
- Petits : < 1,53 mètre
- Moyens : compris entre 1,61 mètre et 1,74 mètre
- Grands : > 1,83 mètre
Pour l'ensemble (ou classe) des petits, toute personne mesurant 1,52 mètre ou moins, fait forcément partie de l'ensemble des petits et se voit attribuer la valeur 1. Toute personne mesurant plus d'1,52 mètre et moins d'1,61 mètre se trouve entre les ensembles (ou classes) des petits et des moyens. Pour les personnes dont la taille est comprise entre 1,52 mètre et 1,62 mètre, il y a de fortes chances pour qu'elles appartiennent à l'ensemble des petits. Les personnes dont la taille est supérieure à 1,62 mètre et inférieure ou égale à 1,61 mètre sont susceptibles d'appartenir à l'ensemble des petits mais ont plus de chance d'appartenir à l'ensemble des moyens.
En général, le processus d'approximation est implémenté via des fonctions prédéterminées à l'aide de l'outil Appartenance floue.
Appartenance floue
Le processus d'approximation permet de caractériser l'imprécision des classes pour les phénomènes pour lesquels les limites ne sont pas clairement définies.
Le processus d'approximation convertit les valeurs d'origine du phénomène en possibilité d'appartenance à un ensemble défini. L'ensemble défini peut correspondre à un ensemble approprié ou à une distance favorable ou offrant la possibilité de trouver un minerai particulier. Les valeurs d'origine du phénomène font l'objet d'une reclassification sur cette échelle d'appartenance via des fonctions d'appartenance floue prédéfinies ou tout autres techniques de reclassification.
Dans le processus d'approximation, la définition idéale pour l'appartenance à l'ensemble est définie. Chaque valeur du phénomène située au cœur de la définition de l'ensemble est associée à la valeur 1. Les valeurs qui ne font pas partie de l'ensemble sont associées à la valeur 0. Les valeurs comprises entre les deux extrémités se trouvent dans la zone de transition de l'ensemble, la limite. Au fur et à mesure que les valeurs s'éloignent de la valeur idéale ou du centre de l'ensemble, elles sont associées à une valeur décroissante sur une échelle graduée de 1 à 0. Si les valeurs attribuées vont en décroissant, les possibilités pour que la valeur d'origine du phénomène appartienne à cet ensemble diminuent.
La valeur d'approximation 0,5 correspond au point de convergence. Toute valeur floue supérieure à 0,5 sous-tend que la valeur d'origine du phénomène peut appartenir à l'ensemble. Lorsque les valeurs d'approximation passent au-dessous de 0,5, la probabilité pour que la valeur d'origine du phénomène appartienne à l'ensemble est moins forte ; les valeurs peuvent ne pas appartenir à l'ensemble.
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Diagramme de la fonction Appartenance floue |
La largeur de la zone de transition dépend du phénomène modélisé, des éléments connus sur le phénomène, de la définition de l'ensemble et du degré de précision de la mesure. La modification des paramètres de la fonction d'approximation peut définir les caractéristiques de la zone de transition. Dans l'illustration ci-dessous, la fonction Gaussienne floue est représentée avec trois courbes différentes, issues de la modification des paramètres de la fonction.
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Fonction d'appartenance floue modifiée par les valeurs de paramètre |
Les paramètres servent de modificateurs pour définir l'ensemble. Les modificateurs permettent de caractériser les superpositions ou la zone intermédiaire entre les ensembles.
Le processus d'approximation se produit pour tous les critères de l'analyse de superposition.
Superposition floue
Pour analyser les relations et interactions entre tous les ensembles pour les critères multiples du modèle de superposition, on a recours aux techniques de la superposition floue. Etant donné que le processus d'approximation est fondé sur le degré d'appartenance à un ensemble, les techniques de superposition décrivent l'interaction des inexactitudes dans l'appartenance des ensembles. Les techniques de la superposition floue sont fondées sur la théorie des ensembles. La théorie des ensembles est une branche des mathématiques qui permet de quantifier la relation d'appartenance d'un phénomène à des ensembles spécifiques. En général, dans la superposition floue, un ensemble correspond à une classe.
Les techniques de superposition floue disponibles incluent les opérateurs Et flou, Ou flou, Produit flou, Somme floue et Gamma flou. Chacune de ces techniques décrit la relation d'appartenance de la cellule aux ensembles en entrée. Par exemple, l'opérateur Et flou permet de créer un raster en sortie où la valeur floue minimum attribuée pour chacun des ensembles auxquels l'emplacement de cellule appartient est donnée à chaque cellule du raster en sortie. Si l'analyse de superposition concerne un modèle d'aptitude de logement et que chacun des critères multiples a fait l'objet d'une approximation par rapport à son appartenance à des ensembles appropriés, l'opérateur Et flou identifie la possibilité la plus faible pour qu'une cellule appartienne à l'un des ensembles appropriés au vu des critères multiples.
L'opérateur Ou flou renvoie la valeur maximum de l'intersection des ensembles. Ainsi, dans un modèle d'aptitude de logement, l'appartenance potentielle la plus élevée (la valeur d'aptitude la plus élevée) est estimée pour chaque cellule pour les critères multiples.
Superposition de la logique floue, binaire et pondérée
Dans la plupart des descriptions de la logique floue pour l'analyse de superposition, celle-ci est généralement comparée à l'analyse de superposition binaire. Dans l'analyse de superposition binaire, pour chaque critère, chaque cellule est évaluée de manière à savoir si elle appartient ou non à une classe définie. Comme nous l'avons vu précédemment, dans la plupart des cas, il est difficile de définir précisément les limites de classe et d'attribuer de manière catégorique des cellules à des classes spécifiques. Dans une analyse binaire, dans le cas d'un modèle d'aptitude de logement, chaque cellule est identifiée comme étant appropriée (1) ou inappropriée (0) pour chacun des critères. Dans le processus de superposition, les emplacements associés à la valeur 1 pour tous les critères en entrée sont considérés comme des emplacements potentiellement appropriés.
L'analyse de superposition binaire présente néanmoins les limites suivantes :
- Si aucun emplacement ne satisfait à tous les critères, il n'est pas possible d'identifier une seconde meilleure option.
- Il n'existe pas de pondération relative pour les emplacements correspondant aux critères.
- Les problèmes abordés plus haut relatifs au processus de classification.
L'analyse de superposition pondérée tente de corriger ces limites. Au lieu de classer chaque cellule en fonction d'une échelle binaire, la superposition pondérée permet d'attribuer à chaque valeur de cellule une valeur sur une échelle continue, comme une échelle graduée de 1 à 10, où 10 représente la valeur de préférence par rapport aux critères. L'échelle continue offre une gradation plus large des classes, ce qui permet de représenter le phénomène plus finement. Pour chaque critère, chaque cellule est associée à une valeur sur l'échelle graduée de 1 à 10. Tous les critères ainsi reclassifiés sont regroupés. Les emplacements de cellule associés aux sommes les plus élevées sont les préférés par rapport aux critères en entrée. Plus les critères de favorabilité sont nombreux, mieux c'est.
La superposition floue et la superposition pondérée sont plus proches l'une de l'autre que l'une ou l'autre comparée à la superposition binaire ; il convient toutefois de noter que ces deux types de superposition reposent sur des principes différents. La superposition floue repose sur la théorie des ensembles, tandis que la superposition pondérée repose sur les combinaisons linéaires. Les deux techniques transforment les valeurs d'origine. Dans la superposition floue, la transformation définit la possibilité d'appartenance à des ensembles tandis que la superposition pondérée fait appel à une échelle de préférences relative. Etant donné que ces deux techniques sont uniques, les outils utilisés pour effectuer l'analyse entre les critères multiples ne sont pas interchangeables.
Logique floue et processus d'analyse de superposition générale
L'analyse de superposition de la logique floue suit les étapes de l'analyse de superposition générale, en insistant davantage sur certaines étapes et un peu moins sur d'autres, et apprécie différemment les valeurs des nombres attribués par rapport aux autres approches de superposition.
Etapes de l'analyse de superposition générale :
- Définir le problème.
- Décomposer le problème en sous-modèles.
- Identifier les couches significatives.
- Reclassifier ou transformer les données au sein d'une couche.
- Pondérer les couches en entrée.
- Ajouter ou combiner les couches.
- Analyser.
Comme pour toutes les analyses de superposition, les 3 premières étapes sont identiques pour l'analyse de la logique floue. Comme la logique floue repose sur les ensembles, la signification des valeurs reclassifiées (étape 4) et les techniques d'analyse utilisées pour combiner les critères multiples (étape 6) font que la logique floue, comparée aux autres approches d'analyse de superposition, est unique.
Les sections à suivre expliquent en quoi la logique floue diffère pour les étapes numérotées de 4 à 7.
Reclassifier ou transformer les données au sein d'une couche
Les données en entrée sont reclassifiées ou transformées sur une échelle graduée de 0 à 1, pour identifier la possibilité d'appartenance à un ensemble défini. Cette reclassification ou processus d'approximation est implémentée à l'aide de l'outil Appartenance floue. Plusieurs fonctions d'appartenance ont été développées pour faciliter le processus de transformation. Les fonctions disponibles sont FuzzyGaussian, FuzzyLarge, FuzzyLinear, FuzzyMSLarge, FuzzyMSSmall, FuzzyNear et FuzzySmall. Chaque fonction d'appartenance transforme les données suivant une manière spécifique pour rendre compte de l'interaction du phénomène.
Pondérer les couches en entrée
Comme la logique floue repose sur la théorie des ensembles et qu'il s'agit de savoir si un emplacement particulier appartient à un ensemble ou à plusieurs, la pondération est inutile. En effet, l'augmentation du poids d'un facteur sur un autre ne peut pas augmenter la possibilité d'appartenance à un ensemble ou à une combinaison de plusieurs ensembles. L'emplacement appartient à un ensemble ou non (en considérant tous les degrés intermédiaires). Dans l'analyse de superposition floue, la pondération des critères est sans objet.
Ajouter ou combiner les couches
Lors de cette étape, la logique floue explore l'interaction des possibilités d'appartenance du phénomène à plusieurs ensembles, par opposition aux fonctions Superposition pondérée et Somme pondérée, qui reposent sur l'idée selon laquelle l'abondance des éléments favorables est le gage d'un meilleur résultat.
Pour la superposition floue, il existe des techniques spécifiques pour rechercher cette relation relative et pour quantifier l'interaction. Les approches combinatoires incluent les opérateurs Et flou, Ou flou, Produit flou, Somme floue et Gamma flou. Chacune de ces approches est fondée sur la théorie des ensembles et est spécifique de l'analyse de superposition floue.
Analyser
Comme dans toute analyse de superposition, il revient à l'utilisateur de choisir d'analyser et d'interpréter les résultats. Toutefois, compte tenu des différentes significations des valeurs reclassifiées et des techniques de superposition sous-jacentes, il est probable qu'il devra recourir à différents mécanismes pour mesurer la validité des résultats.